.Тангенциальное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости тела по абсолютному значению, численно равная первой производной от модуля скорости по времени и направленная по касательной к траектории в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, и противоположно скорости, если она убывает.
4
Нормальное ускорение
.
Т
и
направлены
под прямым углом, то (рис. 1. 17)
,
(1.2.9)
5.Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости, численно равная первой производной угловой скорости по времени и направленная вдоль оси вращения в ту же сторону, что и угловая скорость, если скорость возрастает, и противоположно ей, если она убывает.
Формулу вставить (1.2.10)
СИ:
Полное ускорение
(линейное)
Угловое ускорение
Связь между угловыми характеристиками
вращающегося тела и линейными
характеристиками движения его отдельных точек
Р
СИ:
По истечении времени
точка А переместится в положение А 1 ,
пройдя расстояние
,
радиус-вектор повернется на угол
.
Центральный угол, опирающийся на дугу
,
в радианной мере равен отношению длины
дуги к радиусу кривизны этой дуги:
.
Это
остается справедливым и для бесконечно
малого интервала времени
:
.
Далее, используя определения, легко
получить:
;
(1.2.11)
Связь между линейными и угловыми характеристиками
;
(1.2.12)
.
(1.2.13)
1.1.2. Классификация движений. Кинематические законы
Кинематическими законами будем называть законы, выражающие изменение кинематических характеристик движения с течением времени:
Закон пути
или
;
Закон скорости
или
;
Закон ускорения
или
.
Н
Ускорение
Ускорение
гоночного автомобиля на старте
4-5 м/с
2
Ускорение
реактивного самолета при посадке
6-8
м/
c
2
Ускорение
свободного падения вблизи поверхности
Солнца 274 м/
c
2
Ускорение
снаряда в стволе орудия 10
5
м/
c
2
Нормальное ускорение несет информацию об изменении направления скорости, то есть об особенностях траектории движения:
-
движение прямолинейное (направление
скорости не меняется);
-
движение криволинейное.
Тангенциальное ускорение определяет характер изменения модуля скорости с течением времени. По этому признаку принято выделять следующие виды движения:
- равномерное движение (абсолютное
значение скорости не меняется);
-
ускоренное движение
-
неравномер- (скорость возрастает)
ное
движе-
-замедленное
движе
ние ние (скорость убывает).
Наиболее простыми частными случаями неравномерного движения являются движения, при которых
-
тангенциальное ускорение не зависит
от времени, остается постоянным во время
движения – равнопеременное движение
(равноускоренное или равнозамедленное);
или
- тангенциальное ускорение меняется с
течением времени по закону синуса или
косинуса – гармоническое колебательное
движение (например, грузик на пружине).
Аналогично для вращательного движения:
-
равномерное вращение;
-
неравномерное вращение
Типы движения записать более компактно
-равноускоренное
вращение
-
замедлен-
ное вращение;
-
равнопе-
ременное вращение
Крутильные колебания (например, трифилярный подвес – диск, подвешенный на трех упругих нитях, и совершающий колебания в горизонтальной плоскости).
Если известен один из кинематических законов в аналитической форме, то можно найти другие, при этом возможны два типа задач:
I
тип – по заданному закону пути
или
найти закон скорости
или
и
закон ускорения
или
;
II
тип – по заданному закону ускорения
или
найти закон скорости
или
и
закон пути
или
.
Эти задачи являются взаимно обратными и решаются на основе применения обратных математических операций. Первый тип задач решается на основе определений, то есть путем применения операции дифференцирования.
- задано
- ?
-
?
.
Второй тип задач решается путем интегрирования. Если скорость есть первая производная от пути по времени, то путь по отношению к скорости можно найти как первообразную. Аналогично: ускорение есть производная от скорости по времени, тогда скорость по отношению к ускорению – первообразная. Математически эти действия выглядят так:
-
приращение пути за бесконечно малый
промежуток времени
.
Для конечного интервала от
до
интегрируем:
.
По правилам интегрирования
.
Чтобы взять интеграл в правой части,
нужно знать вид закона скорости, то есть
.
Окончательно, для нахождения положения
тела на траектории в произвольный момент
времени получаем:
,
где (1.2.14)
-
изменение скорости за бесконечно малый
промежуток времени
.
Для
конечного интервала от
до
:
И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.
Рассмотрим некоторые простейшие виды движения точки, часто встречающиеся в практике.
Равномерным движением точки называется движение ее с постоянной величиной алгебраической скорости или
где С - постоянная интегрирования.
Пусть в начальный момент времени положение точки М на траектории характеризовалось тогда и
Таким образом, при равномерном движении путь, проходимый точкой, линейно зависит от времени.
Равнопеременным движением точки называется такое движение ее, при котором алгебраическая величина тангенциального ускорения остается постоянной:
Если знак а совпадает со знаком скорости, то движение называется равноускоренным. При несовпадении знаков а и движение называется равнозамедленным. Из последнего равенства имеем:
где постоянная интегрирования. Если при то
Таким образом, при равномерном движении скорость линейно зависит от времени. Переписывая последнее равенство в виде:
где -постоянная интегрирования. Определяя из условия, что при находим
Таким образом, при равнопеременном движении путь, проходимый точкой, представляет собой квадратный трехчлен от t.
Движение точки по окружности или круговое движение часто встречается в практике. Пусть точка М движется по окружности радиуса R против хода часовой стрелки (рис. 24). Отсчитывая дугу от некоторого начального положения точки, запишем ее через центральный угол в виде:
Алгебраическая скорость точки будет:
где - называется угловой скоростью точки и обозначается через со, размерность ее .
Используя понятие угловой скорости, запишем:
Отсюда, скорость точки в круговом движении равна произведению радиуса траектории на угловую скорость.
Тангенциальное ускорение точки равно:
где - называется угловым ускорением и обозначается через размерность его ,
Нормальное ускорение точки будет:
Так как оно направлено к центру окружности, то его часто называют центростремительным. Модуль полного ускорения точки равен
При равномерном движении точки по окружности Следовательно, касательное ускорение в этом случае отсутствует и имеется лишь постоянное по величине центростремительное ускорение.
При равнопеременном круговом движении
Введение понятия равномерного и равнопеременного движения точки позволяет указать физический смысл тангенциального и нормального ускорения точки. Действительно, пусть тангенциальное ускорение всюду равно нулю:
Тогда, если то из последнего равенства имеем:
или движение точки совершается с постоянной по величине скоростью, т. е. точка движется равномерно.
Отсюда можно сделать вывод, что наличие тангенциального ускорения характеризует неравномерность движения точки по траектории. Пусть далее нормальное ускорение равно нулю:
Тогда, если то нормальное ускорение может тождественно равняться нулю только в случае, когда
или траектория точки есть прямая - движение прямолинейное.
Таки образом, отсутствие нормального ускорения в течение некоторого интервала времени свидетельствует о прямолинейности движения. Отсюда можно сделать вывод, что наличие нормального ускорения указывает на кривизну траектории.
Если одновременно тангенциальное и нормальное ускорения равны тождественно нулю, то движение точки будет равномерным и прямолинейным. Если только в отдельный момент времени тангенциальное ускорение равно нулю, то это указывает на то, что на графике функции этому моменту соответствуют экстремумы функции или ее точки перегиба. Если только в отдельный момент времени нормальное ускорение равно нулю, то это указывает на то, что в этот момент скорость движущейся точки равна нулю или радиус кривизны траектории равен бесконечности.
Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки
СодержаниеЧтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.
В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A
и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A
и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1)
;
(2)
.
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.
Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .
См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >
При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .
Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x
постоянна и равна a x
.
Тогда проекция скорости v x
и x
- координата этой точки зависят от времени t
по закону:
v x = v x0
+ a x t
;
,
где v x0
и x 0
- скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0
.
Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz
с центром в точке O
.
Направим ось z
вдоль оси вращения. Считаем, что z
- координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy
.
Угловая скорость ω
и угловое ускорение ε
направлены вдоль оси z
:
; .
Пусть φ
- угол поворота тела, который зависит от времени t
.
Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения
на ось z
:
;
.
Рассмотрим движение точки M
,
которая находится на расстоянии r
от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r
.
Скорость точки
:
v = ω r
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение
:
a τ = ε r
.
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение
:
.
Оно направлено к оси вращения O
.
Полное ускорение
:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения
:
.
В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε
,
угловая скорость ω
и угол поворота φ
изменяются со временем t
по закону:
ω = ω 0
+ ε t
;
,
где ω 0
и φ 0
- угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0
.
Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.
Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos
α = v B cos
β
.
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.
Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P
плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A
и B
.
Для этого через точку A
проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости .
Через точку B
проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости .
Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P
.
Угловая скорость вращения тела:
.
Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).
Если известна скорость какой либо точки A
плоского тела и его угловая скорость ω
,
то скорость произвольной точки M
определяется по формуле (1)
, которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M
относительно точки A
.
То есть скорость, которую имела бы точка M
при вращении по окружности радиуса |AM|
с угловой скоростью ω
,
если бы точка A
была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM|
.
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM|
с центром в точке A
.
Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2)
. Ускорение любой точки M
равно векторной сумме ускорения некоторой точки A
и ускорения точки M
при вращении вокруг точки A
,
считая точку A
неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M
к точке A
.
Здесь ω
и ε
- угловая скорость и угловое ускорение тела.
Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .
Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .
Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.
Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.
Касательное ускорение точки равно первой производной от модуля скорости или второй производной от расстояния по времени. Касательное ускорение обозначается – .
.
Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости. (рис. 8.5.)
Нормальным ускорением точки называется величина, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны.
Вектор нормального ускорения направлен от данной точки к центру кривизны, (рис.8.6.). Нормальное ускорение обозначается .
– нормаль к данной точке на траектории движения.
Полное ускорение точки определяется из векторного уравнения:
Зная направление и модули и , по правилу параллелограмма определим ускорение, соответствующее данной точке траектории движения. Тогда модуль ускорения определим:
.
Характер - это такое исполнение движений, при котором у наблюдающих остается впечатление о легкости или грузности, округлости или угловатости, силе или расслабленности, свободе или скованности движений и т. п. Все эти оттенки создаются благодаря своеобразному подбору движений, осуществляющих действие
8.поступательное движения твердого тела. траектория, скорости и ускорения точек твердого тела при поступательном движении .
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющий две любые точки тела, во все время движения остается себе параллельным (например, АВ ).
Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех его точек одинаковы .
Доказательство . Пусть отрезок АВ тела за время перемещается поступательно. Возьмем произвольную точку O и определим в пространстве положение отрезка АВ радиусами-векторами и. Обозначим: – радиус-вектор, определяющий положение точки В относительно точки А :
Вектор не изменяется ни по величине, ни по направлению, так как (по определению поступательного движения). Из соотношения (1) видно, что траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением точек этой траектории на постоянный вектор. Таким образом, траектории точек А и В будут одинаковыми.
Возьмем производную по времени от равенства (1). Тогда
Следовательно, при поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех его точек в данный момент времени одинаковы.
Отметим, что сам факт поступательного движения не определяет ни закона движения, ни вида траектории. При поступательном движении точки тела могут описывать любые траектории (например, окружности ). Но все они будут одинаковы .
Дифференцируя левую и правую части приведенного выше векторного соотношения и учитывая, что dAB/dt=0, получаем drB/dt =drA/dt, или VB = VA. Дифференцируя по времени левую и правую части полученного соотношения для скоростей, находим dVB/dt=dVA/dt, или аB = аА. На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод: чтобы задать движение и определить кинематические характеристики тела, совершающего поступательное движение, достаточно задать движение одной его любой точки (по-
люса) и найти ее кинематические характеристики.
Как и материальная точка, тело при его поступательном движении будет иметь одну степень свободы при движении по направляющей, задающей траекторию его точкам; две степени свободы в случае движения на плоскости (при постоянном контакте с ней хотя бы одной точкой) и три степени свободы в общем случае движения в пространстве.
9. вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Задания движения, угловая скорость и угловая ускорение, скорость и ускорения точек тела .
