Среднее арифметическое значение - самый известный статистический показатель. В этой заметке рассмотрим его смысл, формулы расчета и свойства.
Теория вероятностей занимается изучением случайных величин. Для этого строятся различные характеристики, описывающие их поведение. Одной из основных характеристик случайной величины является математическое ожидание, являющееся своего рода центром, вокруг которого группируются остальные значения.
Формула матожидания имеет следующий вид:
где M(X) – математическое ожидание
x i – это случайные величины
p i – их вероятности.
То есть, математическое ожидание случайной величины - это взвешенная сумма значений случайной величины, где веса равны соответствующим вероятностям.
Математическое ожидание суммы выпавших очков при бросании двух игральных костей равно 7. Это легко подсчитать, зная вероятности. А как рассчитать матожидание, если вероятности не известны? Есть только результат наблюдений. В дело вступает статистика, которая позволяет получить приблизительное значение матожидания по фактическим данным наблюдений.
Математическая статистика предоставляет несколько вариантов оценки математического ожидания. Основное среди них – среднее арифметическое.
Среднее арифметическое значение рассчитывается по формуле, которая известна любому школьнику.
где x i
– значения переменной,
n
– количество значений.
Среднее арифметическое – это соотношение суммы значений некоторого показателя с количеством таких значений (наблюдений).
Теперь рассмотрим свойства средней арифметической, которые часто используются при алгебраических манипуляциях. Правильней будет вновь вернутся к термину математического ожидания, т.к. именно его свойства приводят в учебниках.
Матожидание в русскоязычной литературе обычно обозначают как M(X), в иностранных учебниках можно увидеть E(X). Встречается обозначение греческой буквой μ (читается «мю»). Для удобства предлагаю вариант M(X).
Итак, свойство 1. Если имеются переменные X, Y, Z, то математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий.
M(X+Y+Z) = M(X) + M(Y) + M(Z)
Допустим, среднее время, затрачиваемое на мойку автомобиля M(X) равно 20 минут, а на подкачку колес M(Y) – 5 минут. Тогда общее среднее арифметическое время на мойку и подкачку составит M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 20 + 5 = 25 минут.
Свойство 2. Если переменную (т.е. каждое значение переменной) умножить на постоянную величину (a), то математическое ожидание такой величины равно произведению матожидания переменной и этой константы.
К примеру, среднее время мойки одной машины M(X) 20 минут. Тогда среднее время мойки двух машин составит M(aX) = aM(X) = 2*20 = 40 минут.
Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины (а) есть сама эта величина (а).
Если установленная стоимость мойки легкового автомобиля равна 100 рублей, то средняя стоимость мойки нескольких автомобилей также равна 100 рублей.
Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
M(XY) = M(X)M(Y)
Автомойка за день в среднем обслуживает 50 автомобилей (X). Средний чек – 100 рублей (Y). Тогда средняя выручка автомойки в день M(XY) равна произведению среднего количества M(X) на средний тариф M(Y), т.е. 50*100 = 500 рублей.
Среднее арифметическое чисел в Excel рассчитывают с помощью функции СРЗНАЧ . Выглядит примерно так.
У этой формулы есть замечательное свойство. Если в диапазоне, по которому рассчитывается формула, присутствуют пустые ячейки (не нулевые, а именно пустые), то они исключается из расчета.
Вызвать функцию можно разными способами. Например, воспользоваться командой автосуммы во вкладке Главная :
После вызова формулы нужно указать диапазон данных, по которому рассчитывается среднее значение.
Есть и стандартный способ для всех функций. Нужно нажать на кнопку fx в начале строки формул. Затем либо с помощью поиска, либо просто по списку выбрать функцию СРЗНАЧ (в категории «Статистические»).
Рассмотрим следующую простую задачу. Между пунктами А и Б расстояние S, которые автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч. В обратную сторону – со скоростью 100 км/ч.
Какова была средняя скорость движения из А в Б и обратно? Большинство людей ответят 75 км/ч (среднее из 50 и 100) и это неправильный ответ. Средняя скорость – это все пройденное расстояние, деленное на все потраченное время. В нашем случае все расстояние – это S + S = 2*S (туда и обратно), все время складывается из времени из А в Б и из Б в А. Зная скорость и расстояние, время найти элементарно. Исходная формула для нахождения средней скорости имеет вид:
Теперь преобразуем формулу до удобного вида.
Подставим значения.
Правильный ответ: средняя скорость автомобиля составила 66,7 км/ч.
Средняя скорость – это на самом деле среднее расстояние в единицу времени. Поэтому для расчета средней скорости (среднего расстояния в единицу времени) используется средняя арифметическая взвешенная по следующей формуле.
где x – анализируемый показатель; f – вес.
Аналогичным образом по формуле средневзвешенной средней рассчитывается средняя цена (средняя стоимость на единицу продукции), средний процент и т.д. То есть если средняя считается по другим усредненным значениям, нужно применить среднюю взвешенную, а не простую.
Обычная функция среднего значения в Excel СРЗНАЧ, к сожалению, считает только среднюю простую. Готовой формулы для среднего взвешенного значения в Excel нет. Однако расчет несложно сделать подручными средствами.
Самый понятный вариант создать дополнительный столбец. Выглядит примерно так.
Имеется возможность сократить количество расчетов. Есть функция СУММПРОИЗВ. С ее помощью можно рассчитать числитель одним действием. Разделить на сумму весов можно в этой же ячейке. Вся формула для расчета среднего взвешенного значения в Excel выглядит так:
СУММПРОИЗВ(B3:B5;C3:C5)/СУММ(C3:C5)
Интерпретация средней взвешенной такая же, как и у средней простой. Средняя простая – это частный случай взвешенной, когда все веса равны 1.
Представим, что имеется спица, на которой в разных местах нанизаны грузики различной массы.
Как отыскать центр тяжести? Центр тяжести – это такая точка, за которую можно ухватиться, и спица при этом останется в горизонтальном положении и не будет переворачиваться под действием силы тяжести. Она должна быть в центре всех масс, чтобы силы слева равнялись силам справа. Для нахождения точки равновесия следует рассчитать среднее арифметическое взвешенное расстояний от начала спицы до каждого грузика. Весами будут являться массы грузиков (m i), что в прямом смысле слова соответствует понятию веса. Таким образом, среднее арифметическое расстояние – это центр равновесия системы, когда силы с одной стороны точки уравновешивают силы с другой стороны.
И последнее. В русском языке так сложилось, что под словом «средний» обычно понимают именно среднее арифметическое. То есть моду и медиану как-то не принято называть средним значением. А вот на английском языке слово «средний» (average) может трактоваться и как среднее арифметическое (mean), и как мода (mode), и как медиана (median). Так что при чтении иностранной литературы следует быть бдительным.
) и выборочное среднее (выборки).
1 / 5
Обозначим множество данных X = (x 1 , x 2 , …, x n ), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (, произносится «x с чертой»).
Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква μ . Для случайной величины , для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки x i из этой совокупности μ = E{x i } есть математическое ожидание этой выборки.
На практике разница между μ и x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную , имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).
Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).}Или проще 5+5=10, 10:2. Потому что мы складывали 2 числа, а значит, сколько чисел складываем, на столько и делим.
Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.
Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы , из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако, этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее, если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон , подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число из-за Билла Гейтса . Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.
Если числа перемножать , а не складывать , нужно использовать среднее геометрическое , а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.
Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста, по которым годовой рост получается только около 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.
Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 30 % - это 30 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 30 %, они в конце второго года стоят $35.1. Арифметическое среднее этого роста 10 %, но поскольку акции выросли за 2 года всего на $5.1, средний рост в 8,2 % даёт конечный результат $35.1:
[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 10 %, мы не получим фактическое значение: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 130 % = 117 % , то есть общий прирост 17 %, а среднегодовой сложный процент 117 % ≈ 108.2 % {\displaystyle {\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%} , то есть среднегодовой прирост 8,2 %.. Это число неверно по двум причинам.
Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360°==0° - один градус, между 0° и 1° - тоже 1°, в сумме - 2°).
Запомните!
Чтобы найти среднее арифметическое , нужно сложить все числа и поделить их сумму на их количество.
Найти среднее арифметическое 2, 3 и 4 .
Обозначим среднее арифметическое буквой «m ». По определению выше найдем сумму всех чисел.
Разделим полученную сумму на количество взятых чисел. У нас по условию три числа.
В итоге мы получаем формулу среднего арифметического :
Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в жизни.
Например, вы решили продавать футбольные мячи. Но так как вы новичок в этом деле, совершенно непонятно по какой цене вам продавать мячи.
Тогда вы решаете узнать, по какой цене в вашем районе уже продают футбольные мячи конкуренты. Узнаем цены в магазинах и составим таблицу.
Цены на мячи в магазинах оказались совсем разные. Какую цену для продажи футбольного мяча нам лучше выбрать?
Если выбрать самую низкую (290 руб.), то мы будем продавать товар себе в убыток. Если выбрать самую высокую (360 руб.), то покупатели не будут приобретать футбольные мячи у нас.
Нам нужна средняя цена. Здесь на помощь приходит среднее арифметическое .
Вычислим среднее арифметическое цен на футбольные мячи:
Средняя цена =
=
290 + 360 + 310
3
= 320
руб.960
3
Таким образом, мы получили среднюю цену (320 руб.), по которой мы можем продавать футбольный мяч не слишком дёшево и не слишком дорого.
Со средним арифметическим тесно связано понятие средней скорости движения .
Наблюдая за движением транспорта в городе, можно заметить, что машины, то разгоняются и едут с большой скоростью, то замедляются и едут с маленькой скоростью.
Таких участков на пути следования автотранспорта бывает много. Поэтому для удобства расчётов, используют понятие средней скорости движения.
Запомните!
Средняя скорость движения — это весь пройденный путь разделить на всё время движения.
Рассмотрим задачу на среднюю скорость.
Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец 0,3 ч по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всём пути.
Для расчёта средней скорости движения нужно знать весь путь, пройденный автомобилем, и всё время, которое автомобиль двигался.
S 1 = V 1 t 1S 1 = 90 · 3,2 = 288 (км)
— шоссе.S 2 = V 2 t 2
S 2 = 45 · 1,5 = 67,5 (км) — грунтовая дорога.
S 3 = V 3 t 3
S 3 = 30 · 0,3 = 9 (км) — просёлочная дорога.
S = S 1 + S 2 + S 3
S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (км) — весь путь, пройденный автомобилем.
T = t 1 + t 2 + t 3
T = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (ч) — всё время.
V ср = S: t
V ср = 364,5: 5 = 72,9 (км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.
Ответ: V ср = 72,9 (км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.
Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая.
Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:
Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности
Пример 1 . Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.
Найти среднюю заработную плату
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.
Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.
Представим это в виде следующей формулы:
Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.
Пример 2 . Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц
Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:
Ответ: 3,35 тыс.руб.
При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.
Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.
Пример 3 . Определить средний возраст студентов вечернего отделения.
Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.
При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):
1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.
2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:
3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю.
Для того чтобы найти среднее значение в Excel (при том неважно числовое, текстовое, процентное или другое значение) существует много функций. И каждая из них обладает своими особенностями и преимуществами. Ведь в данной задаче могут быть поставлены определенные условия.
Например, средние значения ряда чисел в Excel считают с помощью статистических функций. Можно также вручную ввести собственную формулу. Рассмотрим различные варианты.
Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все числа в наборе и разделить сумму на количество. Например, оценки школьника по информатике: 3, 4, 3, 5, 5. Что выходит за четверть: 4. Мы нашли среднее арифметическое по формуле: =(3+4+3+5+5)/5.
Как это быстро сделать с помощью функций Excel? Возьмем для примера ряд случайных чисел в строке:
Или: сделаем активной ячейку и просто вручную впишем формулу: =СРЗНАЧ(A1:A8).
Теперь посмотрим, что еще умеет функция СРЗНАЧ.
Найдем среднее арифметическое двух первых и трех последних чисел. Формула: =СРЗНАЧ(A1:B1;F1:H1). Результат:
Условием для нахождения среднего арифметического может быть числовой критерий или текстовый. Будем использовать функцию: =СРЗНАЧЕСЛИ().
Найти среднее арифметическое чисел, которые больше или равны 10.
Функция: =СРЗНАЧЕСЛИ(A1:A8;">=10")
Результат использования функции СРЗНАЧЕСЛИ по условию ">=10":
Третий аргумент – «Диапазон усреднения» - опущен. Во-первых, он не обязателен. Во-вторых, анализируемый программой диапазон содержит ТОЛЬКО числовые значения. В ячейках, указанных в первом аргументе, и будет производиться поиск по прописанному во втором аргументе условию.
Внимание! Критерий поиска можно указать в ячейке. А в формуле сделать на нее ссылку.
Найдем среднее значение чисел по текстовому критерию. Например, средние продажи товара «столы».
Функция будет выглядеть так: =СРЗНАЧЕСЛИ($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Диапазон – столбец с наименованиями товаров. Критерий поиска – ссылка на ячейку со словом «столы» (можно вместо ссылки A7 вставить само слово "столы"). Диапазон усреднения – те ячейки, из которых будут браться данные для расчета среднего значения.
В результате вычисления функции получаем следующее значение:
Внимание! Для текстового критерия (условия) диапазон усреднения указывать обязательно.
Как мы узнали средневзвешенную цену?
Формула: =СУММПРОИЗВ(C2:C12;B2:B12)/СУММ(C2:C12).
С помощью формулы СУММПРОИЗВ мы узнаем общую выручку после реализации всего количества товара. А функция СУММ - сумирует количесвто товара. Поделив общую выручку от реализации товара на общее количество единиц товара, мы нашли средневзвешенную цену. Этот показатель учитывает «вес» каждой цены. Ее долю в общей массе значений.
Различают среднеквадратическое отклонение по генеральной совокупности и по выборке. В первом случае это корень из генеральной дисперсии. Во втором – из выборочной дисперсии.
Для расчета этого статистического показателя составляется формула дисперсии. Из нее извлекается корень. Но в Excel существует готовая функция для нахождения среднеквадратического отклонения.
Среднеквадратическое отклонение имеет привязку к масштабу исходных данных. Для образного представления о вариации анализируемого диапазона этого недостаточно. Чтобы получить относительный уровень разброса данных, рассчитывается коэффициент вариации:
среднеквадратическое отклонение / среднее арифметическое значение
Формула в Excel выглядит следующим образом:
СТАНДОТКЛОНП (диапазон значений) / СРЗНАЧ (диапазон значений).
Коэффициент вариации считается в процентах. Поэтому в ячейке устанавливаем процентный формат.
