Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)
Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:
1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;
2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .
Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения
:
Пример 6
Перемножить матрицы двумя способами
Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.
1) Используем формулу
Действие первое:
Действие второе:
2) Используем формулу
Действие первое:
Действие второе:
Ответ :
Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.
Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:
Пример 7
Найти произведение трёх матриц
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.
Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.
Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос.
Определение 1Произведение матриц (С= АВ) - операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Пример 1
Даны матрицы:
Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m
Пример 2
Вычислим произведения АВ=ВА:
А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1
Решение, используя правило умножения матриц:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3
Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А.
Свойства умножения матриц:
Проверяем свойство №1: (А В) С = А (В С) :
(А × В) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,
А (В × С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Пример 2
Проверяем свойство №2: А (В + С) = А В + А С:
А × (В + С) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,
А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .
Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1
Алгоритм действий:
1). А В = 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21
2). А В С = (А В) С = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Используем формулу А В С = (А В) С:
1). В С = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12
2). А В С = (А В) С = 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3
Ответ: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Произведение матрицы А на число k - это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
b i , j = k × a i , j
Свойства умножения матрицы на число:
Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m
А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Пример 5
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
А В = 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2
Пример 6
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А = 3 2 0 - 1 , В = - 1 1 0 2
А В = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Ответ: А В = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.
Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.
Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=\left[ m\times n \right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.
Определение. Матрицы вида $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.
Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:
Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left[ n\times n \right]$ согласованы всегда.
В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $\left(1;0 \right)$ и $\left(0;1 \right)$ задают разные точки на плоскости.
Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $\left(A;B \right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».
Ну и что с того?
Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$. И определим для них операцию умножения.
Определение. Произведение двух согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой считаются по формуле:
\[\begin{align} & {{c}_{i;j}}={{a}_{i;1}}\cdot {{b}_{1;j}}+{{a}_{i;2}}\cdot {{b}_{2;j}}+\ldots +{{a}_{i;n}}\cdot {{b}_{n;j}}= \\ & =\sum\limits_{t=1}^{n}{{{a}_{i;t}}\cdot {{b}_{t;j}}} \end{align}\]
Обозначается такое произведение стандартно: $C=A\cdot B$.
У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:
Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?
Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта ${{c}_{i;j}}$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:
Данный процесс легко понять по картинке:
Схема перемножения двух матрицЕщё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем ${{c}_{ij}}$. И так для всех $1\le i\le m$ и $1\le j\le k$. Т.е. всего будет $m\times k$ таких «извращений».
На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:
\[\begin{align} & \vec{a}=\left({{x}_{a}};{{y}_{a}};{{z}_{a}} \right); \\ & \overrightarrow{b}=\left({{x}_{b}};{{y}_{b}};{{z}_{b}} \right). \\ \end{align}\]
Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:
\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}={{x}_{a}}\cdot {{x}_{b}}+{{y}_{a}}\cdot {{y}_{b}}+{{z}_{a}}\cdot {{z}_{b}}\]
По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку $\overrightarrow{a}$ на вектор-столбец $\overrightarrow{b}$.
Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.
Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.
Задача 1. Выполните умножение:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]. \end{align}\]
Вот и всё!
Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]$.
Задача 2. Выполните умножение:
\[\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}}9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]\]
Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:\[\]
\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 9+3\cdot \left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\cdot \left(-2 \right) \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]. \end{align}\]
Как видим, получилась матрица, заполненная нулями
Ответ: $\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]$.
Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.
В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.
В двух словах. Умножение матриц:
А теперь — всё то же самое, но более подробно.
Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно .
Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]\]
Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{matrix} -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end{matrix} \right]\]
Получается, что $A\cdot B\ne B\cdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $\left[ 2\times 3 \right]$ и $\left[ 3\times 5 \right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $\left[ 3\times 5 \right]$ и $\left[ 2\times 3 \right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(
Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)
Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:
\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]
Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.
В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Множество всех таких матриц обозначается ${{M}^{n}}$ (т.е. записи $A=\left[ n\times n \right]$ и \ означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.
Определение. Единичная матрица размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ выполняется равенство:
Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.
\[\begin{align} & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end{align}\]
Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)
Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.
Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?
А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.
Задача 3. Выполните умножение:
\[\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]\]
Решение. Имеем две матрицы: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:
Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=\left[ 3\times 2 \right]$:
\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2\cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1\cdot 4 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \\\end{array} \right]. \end{align}\]
Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=\left[ 3\times 2 \right]$.
Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} \begin{array}{*{35}{r}} 2 \\ 11 \\ -3 \\\end{array} & \begin{matrix} 41 \\ 30 \\ 19 \\\end{matrix} \\\end{array} \right]$.
Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?
Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:
\\]; $B=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]$; $C=\left[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right]$.
Решение. Для начала запишем размеры матриц:
\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]
Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:
\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]\]
Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:
\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]
Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.
Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $B\cdot A$, поскольку $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, поэтому упорядоченная пара $\left(B;A \right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:
\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]
Короче говоря, на выходе будет матрица $\left[ 4\times 4 \right]$, коэффициенты которой легко считаются:
\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]\]
Очевидно, можно согласовать ещё $C\cdot A$ и $B\cdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:
Это было легко.:)
Ответ: $AB=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]$; $BA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]$; $CA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end{array} \right]$; $BC=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end{array} \right]$.
Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.
Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)
Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.
Определение. Вектор-столбец — это матрица размера $\left[ m\times 1 \right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.
Вектор-строка — это матрица размера $\left[ 1\times n \right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.
На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z \right)$ — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.
Задача 5. Выполните умножение:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Найдём это произведение:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]\]
Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]$.
Задача 6. Выполните умножение:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]\]
Решение. Опять всё согласовано: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Считаем произведение:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}5 & -19 & 5 \\\end{array} \right]\]
Ответ: $\left[ \begin{matrix} 5 & -19 & 5 \\\end{matrix} \right]$.
Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).
Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.
Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.
Такие произведения всегда согласованы:
\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]
И обозначаются точно так же, как и обычные степени:
\[\begin{align} & A\cdot A={{A}^{2}}; \\ & A\cdot A\cdot A={{A}^{3}}; \\ & \underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n}={{A}^{n}}. \\ \end{align}\]
На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:
Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:
${{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}$
Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:
\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]
\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]
Вот и всё.:)
Ответ: $\left[ \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.
Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:
\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}\]
Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:
\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \end{align}\]
Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.
Ответ: $\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.
Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:
\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{n}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & n \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.
В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left[ 3\times 3 \right]$.
Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:
\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\]
Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:
\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}\cdot \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\]
Для начала возведём эту матрицу в квадрат:
\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]
Теперь возведём в куб:
\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]
Вот и всё. Задача решена.
Ответ: $\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{matrix} \right]$.
Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)
На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.
Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .
Из этого определения следует формула элемента матрицы C :
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:
.
A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: 
.
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB .
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".
Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .
Пример 9.
Дана матрица 
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.
Свойства произведения двух матрицСвойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С
= АЕ
:
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :
